FINITE ELEMEN METHOD (FEM)

PENGERTIAN FINITE ELEMEN METHOD

Finite Element Method pada awalnya merupakan kebutuhan untuk memecahkan permasalahan elastisitas yang kompleks dan masalah analisis struktural di dalam sipil dan aeronautical engineering. 

Finite element method (metode elemen hingga) atau FEM adalah salah satu metode numerik yang paling banyak dipakai di dunia engineering (sipil, mesin, penerbangan, mikroelektronik, bioengineering, material) dan diajarkan di dunia (baik akademika maupun industri). Usianya lebih dari 40 tahun, dan hingga kini masih tetap dipakai, bahkan makin  disukai. Metode ini berusaha memecahkan partial differential equations dan persamaan integrasi lainnya yang dihasilkan dari hasil diskritisasi benda kontinum. Meski berupa pendekatan, metode ini dikenal cukup ampuh memecahkan struktur-struktur yang kompleks dalam analisis mekanika benda padat (solid mechanics) dan perpindahan panas (heat transfer). Biasanya matematikawan mencari closed-form solution untuk suatu kasus fisika, dan karena mentok mereka lalu memanfaatkan metode numerik ini untuk memecahkan kasusnya. 

Saat ini, banyak sekali software FEM berkeliaran dengan berbagai mutu dan kemudahan. Software ini biasanya sangat ramah-sama-pengguna (user-friendly) tapi tidak dompet-friendly (mahal). Contoh dari software ini adalah MSC.NASTRAN, ABAQUS, ANSYS, LSDYNA, dan lainnya. Pengguna software FEM kemudian terbiasa melihat GUI (graphic user interface) di mana suatu benda didiskritisasi menjadi sekian puluh bahkan ribu elemen. Istilah baru kemudian muncul yaitu Finite Element Modeling, karena pengguna hanya memodelkan fisik suatu benda dengan elemen-elemen kecil, mendefinisikan sifat-sifat material, memberikan kondisi batas dan pembebanan, menjalankan software. Ini yg dinamakan pre-processing. Fase post-processing biasanya lebih sulit karena pengguna diharapkan bisa menginterpretasi hasil, menganalisis angka dan fisik yang dihasilkan dan melakukan trouble-shooting jika hasilnya kurang memuaskan. Ada yg bilang FEM software ini G-I-G-O alias garbage-in-garbage-out. Dan ini benar! Apa saja yg kita masukkan ke dalam software tentu akan menghasilkan sesuatu, entah itu berupa angka atau berupa error message. Kalau memasukan sampah ya keluarnya juga sampah (begitu arti literalnya). Untuk mengatasi ini, pengguna diharapkan sudah memahami formulasi, jenis elemen, kelebihan dan kelemahan suatu metode sebelum menggunakan FEM software. 

Finite Element Analysis dibangun sebagai metode numeric untuk analisa tegangan, tapi sekarang pemakainanya telah meluas sebagai metode yang umum untuk banyak permasalahan engineering kompleks dan ilmu-ilmu fisika. Mengandung banyak perhitungan, pertumbuhannya berhubungan dekat dengan pengembangan teknologi komputer. 

Finitie Element adalah salah satu dari metode numerik yang memanfaatkan operasi matrix untuk menyelesaikan masalah-masalah fisik. Metode lain yang adalah metode analitik, yang untuk melakukannya diperlukan suatu persamaan matematik yang merupakan model dari perilaku fisik. Semakin rumit perilaku fisiknya (karena kerumitan bentuk geometri, banyaknya interaksi beban, constrain, sifat material, dll) maka semakin sulit atau bahkan mustahil di bangun suatu model matematik yang bisa mewakili permasalahan tersebut. Alternatif metodenya adalah dengan cara membagi kasus tadi menjadi bagian-bagian kecil yang sederhana yang mana pada bagian kecil tersebut kita bisa membangun model matematik dengan lebih sederhana. Kemudian interaksi antar bagian kecil tersbut ditentukan berdasarkan fenomena fisik yang akan diselesaikan. Metode ini dikenal sebagi metode elemen hingga, karena kita membagi permasalahan menjadi sejumlah elemen tertentu (finite) untuk mewakili permasalah yang sebenarnya jumlah elemennya adalah tidak berhingga (kontinum). 

Metode Elemen Hingga (Finite Element Method, FEM) adalah suatu metode numerik dengan tujuan memperoleh pemecahan pendekatan dari suatu persamaan diferensial parsial (Partial Differential Equation, PDE). Meskipun cikal bakal teori FEM sudah ada sejak tahun 1940-an, baru pada tahun 1970-an metode ini dirumuskan secara formal. Pada awalnya metode ini digunakan dibidang teknik penerbangan untuk perhitungan kekuatan bangun-raga (structure) pesawat pada industri pesawat terbang. Tetapi dewasa ini FEM telah diterapkan dalam berbagai persoalan teknik: seperti struktur, dinamika fluida, perpindahan panas, akustik, maupun elektromagnetik. 

Finite Element Method (FEM) atau Metode Elemen Hingga dewasa ini telah menjadi bagian tak terpisahkan dari solusi numerik di dunia teknik rekayasa. FEM diaplikasikan secara luas mulai dari analisa stress (tegangan) dan deformasi (perubahan bentuk) pada bidang struktur bangungan, jembatan, penerbangan, dan otomotif, sampai pada analisa aliran fluida, perpindahan panas, medan magnet, dan masalah non-struktur lainnya. 

Kemajuan yang sangat pesat di bidang komputer baik piranti lunak maupun hardware dalam dua dekade terakhir telah menyebabkan FEM diterapkan secara massif pada level yang belum pernah dibayangkan sebelumnya. Dengan kecanggihan piranti lunak-keras komputer sekarang, masalah rekayasa yang rumit dapat dimodelkan dengan relatif mudah. Waktu yang diperlukan untuk memecahkan problem pun semakin singkat. Sebagai ilustrasi, simulasi tabrakan mobil dua puluh tahun lalu memerlukan waktu berminggu-minggu dengan manggunakan superkomputer. Tetapi pada hari ini simulasi serupa hanya memerlukan waktu belasan jam dengan menggunakan personal komputer secara garis besar ada dua pendekatan metode numerik yaitu finite element method (FEM) dan boundary element (BEM). Masing-masing berbeda pendekatanya dimana pada FEM, governing equation harus memenuhi prasyarat boundary terlebih dahulu sementara pada BEM harus memenuhi prasyarat domain. Bila membandingkan kedua metode ini secara apple to apple, dari segi komputasi metodeFEM tidak efisien dibandingkan metode BEM karena untuk mengetahui potensial (nilai pada suatu titik) kita melakukan komputasi terhadap seluruh domain yang didescritize dimana umumnya kita hanya ingin mengatahui nilai boundarynya saja dan bukan nilai domainnya. Sementara dari segi kemudahan approaching governing equation, metode FEM lebih mudah karena hanya menggunakan polynomial function sementara pada BEM kita bergerak menggunakan fundamental function dengan derajat singularity yang tinggi seperti Green function atau Henkel function.

Finite element method (metode elemen hingga) atau FEM adalah salah satu metode numerik yang paling banyak dipakai di dunia engineering (sipil, mesin, penerbangan, mikroelektronik, bioengineering, material) dan diajarkan di dunia (baik akademia maupun industri). Usianya lebih dari 40 tahun, dan hingga kini masih tetap dipakai, bahkan makin berdiri. 

Metode ini berusaha memecahkan partial differential equations dan persamaan integrasi lainnya yang dihasilkan dari hasil diskritisasi benda kontinum. Meski berupa pendekatan, metode ini dikenal cukup ampuh memecahkan strukturstruktur yang kompleks dalam analisis mekanika benda padat (solid mechanics) dan perpindahan panas (heat transfer). Biasanya matematikawan mencari closed-form solution untuk suatu kasus fisika, dan karena mentok mereka lalu memanfaatkan metode numerik ini untuk memecahkan kasusnya.

Saat ini, banyak sekali software FEM berkeliaran dengan berbagai mutu dan kemudahan. Software ini biasanya mudah untuk digunakan (user-friendly) tapi pada satu sisi sangat mahal harganya. Contoh dari software ini adalah MSC.NASTRAN, ABAQUS, ANSYS, LSDYNA, dan lainnya. Pengguna software FEM kemudian terbiasa melihat GUI (Graphical User Interface) di mana suatu benda didiskritisasi menjadi sekian puluh bahkan ribu elemen. Istilah baru kemudian muncul yaitu Finite Element Modeling, karena pengguna hanya memodelkan fisik suatu benda dengan elemen-elemen kecil, mendefinisikan sifat-sifat material, memberikan kondisi batas dan pembebanan, menjalankan software. Ini yg dinamakan pre-processing. Fase post-processing biasanya lebih sulit karena pengguna diharapkan bisa menginterpretasi hasil, menganalisis angka dan fisik yang dihasilkan dan melakukan trouble-shooting jika hasilnya kurang memuaskan. Ada yg bilang FEM software ini G-I-G-O? alias garbage-in-garbage-out. Dan ini benar! Apa saja yg kita masukkan ke dalam software tentu akan menghasilkan sesuatu, entah itu berupa angka atau berupa error message. Kalau memasukan sampah ya keluarnya juga sampah (begitu arti literalnya). Untuk mengatasi ini, pengguna diharapkan sudah memahami formulasi, jenis elemen, kelebihan dan kelemahan suatu metode sebelum menggunakan FEM software. 

Saat ini, banyak sekali software FEM berkeliaran dengan berbagai mutu dan kemudahan. Contoh dari software ini adalah MSC.NASTRAN, ABAQUS, ANSYS, LSDYNA, dan lainnya. Pengguna software FEM kemudian terbiasa melihat GUI (Graphical User Interface) di mana suatu benda didiskritisasi menjadi sekian puluh bahkan ribu elemen. Istilah baru kemudian muncul yaitu Finite Element Modeling, karena pengguna hanya memodelkan fisik suatu benda dengan elemen-elemen kecil, mendefinisikan sifat-sifat material, memberikan kondisi batas dan pembebanan, menjalankan software. Ini yg dinamakan pre-processing. Fase post-processing biasanya lebih sulit karena pengguna diharapkan bisa menginterpretasi hasil, menganalisis angka dan fisik yang dihasilkan dan melakukan trouble-shooting jika hasilnya kurang memuaskan. Ada yg bilang FEM software ini G-I-G-O? alias garbage-in-garbage-out. Dan ini benar! Apa saja yg kita masukkan ke dalam software tentu akan menghasilkan sesuatu, entah itu berupa angka atau berupa error message. Kalau memasukan sampah ya keluarnya juga sampah (begitu arti literalnya). Untuk mengatasi ini, pengguna diharapkan sudah memahami formulasi, jenis elemen, kelebihan dan kelemahan suatu metode sebelum menggunakan FEM software.

Selain finite element, metode lain yang merupakan metode numerik adalah finite different. Finite different adalah metode yang menggunakan derivatif dari suatu formula untuk menyelesaikan suatu persoalan. Derivatif dihitung menggunakan nilai yang sangat kecil namun finite atau terhingga. Seperti yang telah diketahui bahwa setiap formula diferensial orde satu mengandung sebuah konstanta integral. Oleh karena itu dalam perhitungannya dibutuhkan suatu kondisi batasan yang akan memenuhi nilai konstanta integral tersebut. Sebagai contoh adalah bila ada exact solution, f (x ) = 1 − x 2/2, dan finite different didapat dengan ∆x = 0.1. Hasil penyelesaian finite different ditunjukkan hanya pada titik diskrit, sedangkan variasi secara umum dari hasil perhitungan tiap titik tidak dapat diketahu dengan metode finite different tatapi dapat dilihat dengan cara interpolasi. Maka dapat dilihat beberapa persamaan dan gambar di bawah ini.

 

Finite element dengan finite different adalah berbeda. Pada metode finite element variasi dari field variable dalam domain fisik merupakan sebuah bagian utuh dari prosedur. Maksudnya adalah berdasarkan fungsi interpolasi yang dipilih, field variable diseluruh bagian sebuah elemen hingga dispesifikasikan sebagai sebuah bagian utuh dari prosedur. Pada metode finite different, field variable dihitung hanya pada titik tertentu. Namun finite different dapat digunakan untuk menyediakan data variable dan selanjutnya dapat dilakukan dengan metode finite element. Contohnya pada permasalah struktur, kedua metode dapat menyediakan penyelesaian displacement (perpindahan), namun penyelesaian finite element dapat digunakan secara langsung untuk menghitung strain, turunan pertama. Sedangkan penyelesaian finite different membutuhkan pertimbangan tambahan. 

• Jenis-Jenis Finite Element Method

Secara umum ada beberapa jenis metode didalam Finite Elemen Method (FEM) yang bisa digunakan untuk mengatasi masalah-masalah yang ada di dalam dunia teknik. Perluasan dari metode finite elemen tersebut memang banyak macamnya. Berikut beberapa perluasan dari Finite Elemen Method (FEM). 

• hp-FEM

hp- FEM adalah versi umum dari metode elemen hingga (FEM), sebuah numerik metode untuk memecahkan persamaan diferensial parsial berdasarkan perkiraan piecewise-polinomial menggunakan unsur-unsur variabel ukuran (h) dan derajat polinomial (p). 

• Extended finite element method (XFEM)

Extended finite element method (XFEM) adalah metode teknik numerik yang memperpanjang klasik metode elemen hingga (FEM) dengan pendekatan memperluas ruang untuk solusi solusi untuk persamaan diferensial dengan fungsi kontinu. 

• Spectral method

Metode spektral adalah sebuah teknik yang digunakan dalam matematika terapan dan komputasi ilmiah tertentu untuk menyelesaikan secara numerik dengan menggunakan persamaan diferensial parsial (PDEs),dan sering juga melibatkan penggunaan Fast Fourier Transform. Metode spectral memiliki tingkat error yang sangat baik yang disebut dengan “exponential convergen” sehingga membuat metode ini menjadi yang tercepat. 

• Meshfree methods

Metode meshfree merupakan kelas tertentu dari numerical simulation algorithms untuk mensimulasikan fenomena-fenomena yang berupa fisik. Simulasi algoritma tradisional mengandalkan pada grid atau mesh sedangkan metode meshfree menggunakan pendekatan simulasi geometri dalam peghitungannya. Hal ini menjadi salah satu kelebihan dari metode meshfree dibanding dengan metode konvensional. 

• Discontinuous Galerkin method

Metode Galerkin diskontinu pertama kali diusulkan dan dianalisis pada awal 1970-an sebagai suatu teknik untuk menyelesaikan secara numerik persamaan diferensial parsial. Pada tahun 1973 Reed dan Hill memperkenalkan metode Discontinuous Galerkin untuk memecahkan persamaan transpor netron hiperbolik. Metode ini digunakan untuk memecahkan persamaan diferensial parsial dengan menggabungkan fitur dari finite element dan volume element, dan berhasil diaplikasikan untuk ukuran seperti hiperbolik, elips dan parabola.

Ketidaktahuan dasar atau variabel bidang dalam persoalan engineering ;

• Displacement pada mekanika solid
• Kecepatan pada mekanika fluida
• Potensial magnetik dan elektrik dalam teknik elektro
• Temperatur pada permasalahan aliran panas.

Pada rangkaian kesatuan (continuum) dilakukan dengan mengabaikan ruang kosong yang terdapat pada antar partikel sehingga metode ini hanyalah sebuah pendekatan dengan kondisi realita yang terjadi dengan derajat kebebasan tidak berhingga. Prosedur elemen hingga mereduksi yang tidak diketahui menjadi jumlah yang terbatas dengan membagi bidang penyelesaian menjadi bidang-bidang kecil disebut elemen dan dengan mengekspresekan variabel bidang anu (unknown) dengan mengasumsikan fungsi pendekatan (fungsi interpolasi/fungsi bentuk)umumnya dalam dunia engineering ada 3 macam bentuk elemen yang digunakan dalam perhitungan pada elemen hingga, elemen tersebut adalah adalah membran, shell, maupun elemen solid. 

elemen membran adalah elemen datar yang memiliki 2 dimensi, pada umumnya element ini berbentuk segitiga maupun segiempat, pada elemen yang berbentuk segitiga, biasanya dimodelkan dengan 3 hingga 6 node, sedangkan pada segi empat dimodelkan dari 4 hingga 9 node, element ini memiliki 2 arah perpindahan derajat kebebasan pada tiap node yang terdapat didalam element. element ini biasa digunakan untuk memodelkan permasalahan elastisitas dengan 2 dimensi, arah tegangan dan arah regangan. itu bisa menghasilkan 2 normal force dan 1 shear stress pada element. elemen membran tidak memiliki rotational stifness maupun stiffness normal yang menuju arah dari elemen.

REFERENSI

• Bhafikatti, SS. 2005. Finite Element Analysis. New age international. New Delhi.
• Hutton F, David. Fundamentals Of Finite Elements. 2004. McGraw-Hill?.
• http://caswww.colorado.edu/courses.d/FEM.d/Home.html
• http://komputasi.inn.bppt.go.id/semiloka06/B_Bandriyana.pdf
• http://people.sc.fsu.edu
• kuliah FEM, rabu 2 September 2009
• Introduction to Finite Element Methods (ASEN 5007) - Fall 2009 Department of Aerospace Engineering Sciences University of Colorado at Boulder
• http://pdm-mipa.ugm.ac.id/ojs/index.php/bimipa/article/viewFile/66/106
• www.wikipedia.com
• http://urbana.mie.uc.edu/yliu/FEM-525/FEM-525.htm
• Mahmmod Aziz Muhammed, Adhi Susanto, F. Soesianto F. Soesianto, Soetrisno Soetrisno
• http://www.toodoc.com/finite-elements-ppt.html
• http://people.sc.fsu.edu
• www.infometrik.com
• http://www.halamansatu.net/index2.php?option=com_content&do_pdf=1&id=469
• Klaus Jurgen Bathe, Finite Element Procedures, Prentice Hall, 1996
• http://commonemitter.wordpress.com
• http://commonemitter.wordpress.com